Spark中如何使用矩阵运算间接实现i2i
本文主要包含以下几部分：
1.背景
2.Spark支持的数据类型
2.1 Local Vector（本地向量）
2.2 Labeled point（带标签的点）
2.3 Local Matrix（本地矩阵）
2.4 Distributed Matrix（分布式矩阵）
2.4.4 BlockMatrix
3.相似度计算原理探索
3.1 相似度计算
3.2 公式拆解
3.3 矩阵并行
3.4 阅读源码
4.Spark实现Item相似度计算
1.背景
之前小编在计算两两用户的item重合度，根据item重合度去评估两个用户之间的相似度，根据条件进行过滤之后大概有3000个用户，但每个用户对应的item量参差不齐，有上百万的，有几千的，这样在去构建笛卡尔积的时候，进行item数据关联，得到的用户集就会特别大，spark运行的时候就会很慢，而且会出现很严重的数据倾斜。这个时候了解到了spark支持的数据类型，看到了CoordinateMatrix，然后深究其原理，便看到了这篇文章，经过整理形成了此文。
本文出自「xingoo」在原文的基础上加以小编自己的理解形成的学习笔记，希望对读者有帮助。原文链接：Spark MLlib 之 大规模数据集的相似度计算原理探索
2.Spark支持的数据类型
官方文档地址：https://spark.apache.org/docs/latest/mllib-data-types.html
2.1 Local Vector（本地向量）
本地向量是从0开始的下标和double类型的数据组成，存储在本地机器上，所以称为Local Vector。它支持两种形式：
Dense （密集的向量） Sparse （稀疏的向量）
比如一个向量[1.0,0.0,3.0]，用Dense表示为：[1.0,0.0,3.0]，用Sparse表示为：(3,[0,2],[1.0,3.0])，其中3为向量的长度，[0,2]表示元素[1.0,3.0]的位置，可见sparse形式下0.0是不存储的。
import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors
val denseVector = Vectors.dense(1.0,0.0,3.0)
val sparseVector1 = Vectors.sparse(3,Array(0,2),Array(1.0,3.0))
val sparseVector2 = Vectors.sparse(3,Seq((0,1.0),(2,3.0)))
println(s"DenseVector is : $denseVector")
println(s"DenseVector to Sparse is : ${denseVector.toSparse}")
println(s"sparseVector1 is : $sparseVector1")
println(s"sparseVector1 to Dense is : ${sparseVector1.toDense}")
println(s"sparseVector2 is : $sparseVector2")
println(s"sparseVector2 to Dense is : ${sparseVector2.toDense}")
输出为：
DenseVector is : [1.0,0.0,3.0]
DenseVector to Sparse is : (3,[0,2],[1.0,3.0])
sparseVector1 is : (3,[0,2],[1.0,3.0])
sparseVector1 to Dense is : [1.0,0.0,3.0]
sparseVector2 is : (3,[0,2],[1.0,3.0])
sparseVector2 to Dense is : [1.0,0.0,3.0]
2.2 Labeled point（带标签的点）
labeled point由本地向量组成，既可以是dense向量，也可以是sparse向量。在mllib中常用于监督类算法，使用double类型来保存该类型的数据，因为也可以用于回归和分类算法。例如二分类，label可以是0（负例）或1（正例），对于多分类，label可以是0，1，2...
import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors
import org.apache.spark.mllib.regression.LabeledPoint
val pos = LabeledPoint(1.0, Vectors.dense(1.0,0.0,3.0))
val neg = LabeledPoint(0.0, Vectors.sparse(3, Array(0, 2), Array(1.0, 3.0)))
sparse data
稀疏数据存储是非常普遍的现象，mllib支持读取libsvm格式的数据，其数据格式如下：
label index1:value1,index2:value2 ...
其读取方式包括：
import org.apache.spark.mllib.util.MLUtils
// method 1
spark.read.format("libsvm") .load("libsvm data path")
// method 2
MLUtils.loadLibSVMFile(spark.sparkContext, "libsvm data path")
2.3 Local Matrix（本地矩阵）
local matrix由行下标，列索引和double类型的值组成，存储在本地机器上，mllib支持密集矩阵和稀疏矩阵，其存储是按照列进行存储的。
例如下面的为密集矩阵:
通过数组存储的形式为：[1.0, 3.0, 5.0, 2.0, 4.0, 6.0]，矩阵大小为[3，2]
// Create a dense matrix ((1.0, 2.0), (3.0, 4.0), (5.0, 6.0))
val denseMatrix = Matrices.dense(3,2, Array(1.0,3.0,5.0,2.0,4.0,6.0))
println(s"denseMatrix is : $denseMatrix")
// Create a sparse matrix ((9.0, 0.0), (0.0, 8.0), (0.0, 6.0))
val sparseMatrix = Matrices.sparse(3,2, Array(0,1,3),Array(0,2,1),Array(9,6,8))
println(s"sparseMatrix is : $sparseMatrix")
注：稀疏矩阵解释，首先指定矩阵是3行2列，Array(0, 1, 3)是指，第0个非零元素在第一列，第一第二个非零元素在第二列。
Array(0, 2, 1)是指，第一个非零元素在第0行，第二个非零元素在第2行，第三个非零元素在第1行。
此处设计比较好，假设100个元素分两列，不需要把每个元素所在列都标出来，只需要记录3个数字即可。Array(9, 6, 8)表示按顺序存储非零元素.
Array(0,1,3)比较难理解，可以参考以下文章：
https://www.cnblogs.com/lyy-blog/p/9288701.html https://www.tuicool.com/articles/A3emmqis
2.4 Distributed Matrix（分布式矩阵）
一个分布式矩阵由下标和double类型的数据组成，不过分布式的矩阵的下标不是int类型，而是long类型，数据保存在一个或多个rdd中，选择一个正确的格式去存储分布式矩阵是非常重要的。分布式矩阵转换成不同的格式需要一个全局的shuffle(global shuffle)，而全局shuffle的代价会非常高。到目前为止，Spark MLlib中已经实现了三种分布式矩阵。
最基本的分布式矩阵是RowMatrix，它是一个行式的分布式矩阵，没有行索引。比如一系列特征向量的集合。RowMatrix由一个RDD代表所有的行，每一行是一个本地向量。假设一个RowMatrix的列数不是特别巨大，那么一个简单的本地向量能够与driver进行联系，并且数据可以在单个节点上保存或使用。IndexedRowMatrix与RowMatrix类似但是有行索引，行索引可以用来区分行并且进行连接等操作。CoordinateMatrix是一个以协同列表（coordinate list)格式存储数据的分布式矩阵，数据以RDD形式存储。
注意：因为我们需要缓存矩阵的大小，所以分布式矩阵的RDDs格式是需要确定的，使用非确定RDDs的话会报错。
2.4.1 Row Matrix
RowMatrix它是一个行式的分布式矩阵，没有行索引。比如一系列特征向量的集合。RowMatrix由一个RDD代表所有的行，每一行是一个本地向量。因为每一行代表一个本地向量，所以它的列数被限制在Integer.max的范围内，在实际应用中不会太大。
一个RowMatrix可以由一个RDD[Vector]的实例创建。因此我们可以计算统计信息或者进行分解。QR分解（QR decomposition）是A=QR，其中Q是一个矩阵，R是一个上三角矩阵。对sigular value decomposition（SVD）和principal component analysis（PCA）,可以去参考降维的部分。
// Row Matrix
println("Row Matrix ...")
val arr = Array(Vectors.dense(1,0),Vectors.dense(0,1))
val rows = spark.sparkContext.parallelize(arr)
val mat: RowMatrix = new RowMatrix(rows)
val m = mat.numRows()
val n = mat.numCols()
val qrResult = mat.tallSkinnyQR(true)
println(s"m is: $m，n is $n，\nqrResult is :")
qrResult.Q.rows.foreach(println)
println()
qrResult.R.rowIter.foreach(println)
输出为：
Row Matrix ...
m is: 2，n is 2，
qrResult is :
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
2.4.2 IndexedRowMatrix
IndexedRowMatrix与RowMatrix类似，但是它有行索引。由一个行索引RDD表示，索引每一行由一个long型行索引和一个本地向量组成。
一个IndexedRowMatrix可以由RDD[IndexedRow]的实例来生成，IndexedRow是一个（Long, Vector)的封装。去掉行索引，IndexedRowMatrix能够转换成RowMatrix。
// IndexedRowMatrix
println("Indexed Row Matrix ...")
val arr2 = Array(
IndexedRow(0,Vectors.dense(1,0)),
IndexedRow(1,Vectors.dense(0,1))
)
val rows2: RDD[IndexedRow] = spark.sparkContext.parallelize(arr2)
val mat2 = new IndexedRowMatrix(rows2)
val m2 = mat2.numRows()
val n2 = mat2.numCols()
// 去掉行索引，转换成RowMatrix
val qrResult2 = mat2.toRowMatrix().tallSkinnyQR(true)
println(s"m2 is: $m2，n2 is $n2，\nqrResult2 is :")
qrResult2.Q.rows.foreach(println)
println()
qrResult2.R.rowIter.foreach(println)
输出为：
Indexed Row Matrix ...
m2 is: 2，n2 is 2，
qrResult2 is :
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
2.4.3 CoordinateMatrix
CoordinateMatrix是一个分布式矩阵，其实体集合是一个RDD，每一个是一个三元组(i:Long, j:Long, value:Double）。其中i是行索引，j是列索引，value是实体的值。当矩阵的维度很大并且是稀疏矩阵时，才使用CoordinateMatrix。
一个CoordinateMatrix可以通过一个RDD[MatrixEntry]的实例来创建，MatrixEntry是一个(Long, Long, Double)的封装。CoordinateMatrix可以通过调用toIndexedRowMatrix转换成一个IndexedRowMatrix。CoordinateMatrix的其他降维方法暂时还不支持（Spark-1.6.2)。
// CoordinateMatrix
println("Coordinate Matrix ...")
val arr3 = Array(
MatrixEntry(0,0,1),
MatrixEntry(1,1,1)
)
val entries = spark.sparkContext.parallelize(arr3)
val mat3 = new CoordinateMatrix(entries)
val m3 = mat.numRows()
val n3 = mat.numCols()
val qrResult3 = mat3.toIndexedRowMatrix().toRowMatrix().tallSkinnyQR(true)
println(s"m3 is: $m3，n3 is $n3，\nqrResult3 is :")
qrResult3.Q.rows.foreach(println)
println()
qrResult3.R.rowIter.foreach(println)
输出为：
Coordinate Matrix ...
m3 is: 2，n3 is 2，
rowMat3 is :
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
[1.0,0.0]
[0.0,1.0]
2.4.4 BlockMatrix
一个BlockMatrix是一个分布式的矩阵，由一个MatrixBlocks的RDD组成。MatrixBlock是一个三元组((Int, Int), Matrix),其中(Int, Int)是block的索引，Matrix是一个在指定位置上的维度为rowsPerBlock * colsPerBlock的子矩阵。BlockMatrix支持与另一个BlockMatrix对象的add和multiply操作。BlockMatrix提供了一个帮助方法validate，这个方法可以用于检测该`BlockMatrix·是否正确。
可以通过IndexedRowMatrix或者CoordinateMatrix调用toBlockMatrix快速得到BlockMatrix对象。默认情况下toBlockMatrix方法会得到一个1024 x 1024的BlockMatrix。使用时可以通过手动传递维度值来设置维度，toBlockMatrix(rowsPerBlock, colsPerBlock)。
// BlockMatrix
println("Block Matrix ...")
val arr4 = Array(
MatrixEntry(0,0,1),
MatrixEntry(1,1,1)
)
val entries4: RDD[MatrixEntry] = spark.sparkContext.parallelize(arr4)
val coordMat: CoordinateMatrix = new CoordinateMatrix(entries4)
val matA: BlockMatrix = coordMat.toBlockMatrix().cache()
// 检测BlockMatrix格式是否正确，错误的话会抛出异常，正确的话无其他影响
matA.validate()
matA.blocks.foreach(println)
val m4 = matA.numRowBlocks
val n4 = matA.numColBlocks
println(s"m4 is: $m4，n4 is $n4")
// 计算A^T * A.
val ata = matA.transpose.multiply(matA)
ata.blocks.foreach(println)
输出为：
Block Matrix ...
((0,0),2 x 2 CSCMatrix
(0,0) 1.0
(1,1) 1.0)
m4 is: 1，n4 is 1
((0,0),1.0 0.0
0.0 1.0 )
3.相似度计算原理探索
无论是ICF基于物品的协同过滤、UCF基于用户的协同过滤、基于内容的推荐，最基本的环节都是计算相似度。如果样本特征维度很高或者<user, item, score>的维度很大，都会导致无法直接计算。设想一下100w*100w的二维矩阵，计算相似度怎么算？
在spark中RowMatrix提供了一种并行计算相似度的思路，下面就来看看其中的奥妙吧！
3.1 相似度计算
相似度有很多种，每一种适合的场景都不太一样。比如：
欧氏距离，在几何中最简单的计算方法 夹角余弦，通过方向计算相似度，通常在用户对商品评分、NLP等场景使用 杰卡德距离，在不考虑每一样的具体值时使用 皮尔森系数，与夹角余弦类似，但是可以去中心化。比如评分时，有人倾向于打高分，有人倾向于打低分，他们的最后效果在皮尔森中是一样的 曼哈顿距离，一般在路径规划、地图类中常用，比如A*算法中使用曼哈顿来作为每一步代价值的一部分（F=G+H, G是从当前点移动到下一个点的距离，H是距离目标点的距离，这个H就可以用曼哈顿距离表示）
上面两个向量(x1,y1)和(x2,y2)计算夹角的余弦值就是两个向量方向的相似度，其公式为：
其中，表示的模，即每一项的平方和再开方。
3.2 公式拆解
那么如果向量不只是两维，而是n维呢？比如有两个向量：
第一个向量：
第二个向量：
他们的相似度计算方法套用上面的公式为：
通过上面的公式就可以发现，夹角余弦可以拆解成每一项与另一项对应位置的乘积x1∗y1，再除以每个向量自己的
就可以了。
3.3 矩阵并行
画个图看看，首先创建下面的矩阵：
注意，矩阵里面都是一列代表一个向量....上面是创建矩阵时的三元组，如果在spark中想要创建matrix，可以这样：
val df = spark.createDataFrame(Seq(
(0, 0, 1.0),
(1, 0, 1.0),
(2, 0, 1.0),
(3, 0, 1.0),
(0, 1, 2.0),
(1, 1, 2.0),
(2, 1, 1.0),
(3, 1, 1.0),
(0, 2, 3.0),
(1, 2, 3.0),
(2, 2, 3.0),
(0, 3, 1.0),
(1, 3, 1.0),
(3, 3, 4.0)
))
val matrix = new CoordinateMatrix(df.map(row => MatrixEntry(row.getAs[Integer](0).toLong, row.getAs[Integer](1).toLong, row.getAs[Double](2))).toJavaRDD)
然后计算每一个向量的normL2，即平方和开根号。
以第一个和第二个向量计算为例，第一个向量为(1,1,1,1)，第二个向量为(2,2,1,1)，每一项除以对应的normL2，得到后面的两个向量：
两个向量最终的相似度为0.94。
那么在Spark如何快速并行处理呢？通过上面的例子，可以看到两个向量的相似度，需要把每一维度乘积后相加，但是一个向量一般都是跨RDD保存的，所以可以先计算所有向量的第一维，得出结果
最后对做一次reduceByKey累加结果即可.....
3.4 阅读源码
首先创建dataframe形成matrix：
import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.{CoordinateMatrix, MatrixEntry}import org.apache.spark.sql.SparkSessionobject MatrixSimTest { def main(args: Array[String]): Unit = { // 创建dataframe，转换成matrix val spark = SparkSession.builder().master("local[*]").appName("sim").getOrCreate() spark.sparkContext.setLogLevel("WARN") import spark.implicits._ val df = spark.createDataFrame(Seq( (0, 0, 1.0), (1, 0, 1.0), (2, 0, 1.0), (3, 0, 1.0), (0, 1, 2.0), (1, 1, 2.0), (2, 1, 1.0), (3, 1, 1.0), (0, 2, 3.0), (1, 2, 3.0), (2, 2, 3.0), (0, 3, 1.0), (1, 3, 1.0), (3, 3, 4.0) )) val matrix = new CoordinateMatrix(df.map(row => MatrixEntry(row.getAs[Integer](0).toLong, row.getAs[Integer](1).toLong, row.getAs[Double](2))).toJavaRDD) // 调用sim方法 val x = matrix.toRowMatrix().columnSimilarities() // 得到相似度结果 x.entries.collect().foreach(println) }}
得到的结果为：
MatrixEntry(0,3,0.7071067811865476)
MatrixEntry(0,2,0.8660254037844386)
MatrixEntry(2,3,0.2721655269759087)
MatrixEntry(0,1,0.9486832980505139)
MatrixEntry(1,2,0.9128709291752768)
MatrixEntry(1,3,0.596284793999944)
直接进入columnSimilarities方法看看是怎么个流程吧！
def columnSimilarities(): CoordinateMatrix = {
columnSimilarities(0.0)
}
内部调用了带阈值的相似度方法，这里的阈值是指相似度小于该值时，输出结果时，会自动过滤掉。
def columnSimilarities(threshold: Double): CoordinateMatrix = {
//检查参数...
val gamma = if (threshold < 1e-6) {
Double.PositiveInfinity
} else {
10 * math.log(numCols()) / threshold
}
columnSimilaritiesDIMSUM(computeColumnSummaryStatistics().normL2.toArray, gamma)
}
这里的gamma用于采样，具体的做法咱们来继续看源码。然后看一下computeColumnSummaryStatistics().normL2.toArray这个方法：
def computeColumnSummaryStatistics(): MultivariateStatisticalSummary = {
val summary = rows.treeAggregate(new MultivariateOnlineSummarizer)(
(aggregator, data) => aggregator.add(data),
(aggregator1, aggregator2) => aggregator1.merge(aggregator2))
updateNumRows(summary.count)
summary
}
之前有介绍这个treeAggregate是一种带“预reduce”的map-reduce，返回的summary，里面帮我们统计了每一个向量的很多指标，比如
currMean 为 每一个向量的平均值
currM2 为 每个向量的每一维的平方和
currL1 为 每个向量的绝对值的和
currMax 为 每个向量的最大值
currMin 为 每个向量的最小值
nnz 为 每个向量的非0个数
这里我们只需要currM2，它是每个向量的平方和。summary调用的normL2方法：
override def normL2: Vector = {
require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.")
val realMagnitude = Array.ofDim[Double](n)
var i = 0
val len = currM2.length
while (i < len) {
realMagnitude(i) = math.sqrt(currM2(i))
i += 1
}
Vectors.dense(realMagnitude)
}
上面这步就是对平方和开个根号，这样就求出来了每个向量的分母部分。下面就是最关键的地方了：
private[mllib] def columnSimilaritiesDIMSUM(
colMags: Array[Double],
gamma: Double): CoordinateMatrix = {
// 一些参数校验
// 对gamma进行开方
val sg = math.sqrt(gamma) // sqrt(gamma) used many times
// 这里把前面算的平方根的值设置一个默认值，因为如果为0，除0会报异常，所以设置为1
val colMagsCorrected = colMags.map(x => if (x == 0) 1.0 else x)
// 把抽样概率数组 和 平方根数组进行广播
val sc = rows.context
val pBV = sc.broadcast(colMagsCorrected.map(c => sg / c))
val qBV = sc.broadcast(colMagsCorrected.map(c => math.min(sg, c)))
// 遍历每一行，计算每个向量该维的乘积，形成三元组
val sims = rows.mapPartitionsWithIndex { (indx, iter) =>
val p = pBV.value
val q = qBV.value
// 获得随机值
val rand = new XORShiftRandom(indx)
val scaled = new Array[Double](p.size)
iter.flatMap { row =>
row match {
case SparseVector(size, indices, values) =>
// 如果是稀疏向量，遍历向量的每一维，除以平方根
val nnz = indices.size
var k = 0
while (k < nnz) {
scaled(k) = values(k) / q(indices(k))
k += 1
}
// 遍历向量数组，计算每一个数值与其他数值的乘机。
// 比如向量(1, 2, 0 ,1)
// 得到的结果为 (0,1,value)(0,3,value)(2,3,value)
Iterator.tabulate (nnz) { k =>
val buf = new ListBuffer[((Int, Int), Double)]()
val i = indices(k)
val iVal = scaled(k)
// 判断当前列是否符合采样范围，如果小于采样值，就忽略
if (iVal != 0 && rand.nextDouble() < p(i)) {
var l = k + 1
while (l < nnz) {
val j = indices(l)
val jVal = scaled(l)
if (jVal != 0 && rand.nextDouble() < p(j)) {
// 计算每一维与其他维的值
buf += (((i, j), iVal * jVal))
}
l += 1
}
}
buf
}.flatten
case DenseVector(values) =>
// 跟稀疏同理
val n = values.size
var i = 0
while (i < n) {
scaled(i) = values(i) / q(i)
i += 1
}
Iterator.tabulate (n) { i =>
val buf = new ListBuffer[((Int, Int), Double)]()
val iVal = scaled(i)
if (iVal != 0 && rand.nextDouble() < p(i)) {
var j = i + 1
while (j < n) {
val jVal = scaled(j)
if (jVal != 0 && rand.nextDouble() < p(j)) {
buf += (((i, j), iVal * jVal))
}
j += 1
}
}
buf
}.flatten
}
}
// 最后再执行一个reduceBykey，累加所有的值，就是i和j的相似度
}.reduceByKey(_ + _).map { case ((i, j), sim) =>
MatrixEntry(i.toLong, j.toLong, sim)
}
new CoordinateMatrix(sims, numCols(), numCols())
}
这样把所有向量的平方和广播后，每一行都可以在不同的节点并行处理了。
总结来说，Spark提供的这个计算相似度的方法有两点优势：
通过拆解公式，使得每一行独立计算，加快速度 提供采样方案，以采样方式抽样固定的特征维度计算相似度
不过杰卡德目前并不能使用这种方法来计算，因为杰卡德中间有一项需要对向量求dot，这种方式就不适合了；如果杰卡德想要快速计算，可以去参考LSH局部敏感哈希算法，这里就不详细说明了。
4.Spark实现Item相似度计算
这里使用的数据集是MovieLens，计算Item的相似度，为用户推荐部分没有实现，不过也比较简单，感兴趣的用户可以自己试着实现一下看看。
// 加载数据 (userid, itemid, score) => (string, long, double)
val dataPath = "data/ml-100k/ua.base"
val dataTemp: RDD[(String, (Long, Double))] = spark.sparkContext.textFile(dataPath).map(_.split("\t")).map(l => (l(0), (l(1).toLong, l(2).toDouble)))
// 理论为上userid 可能为 设备id等字符串，所以进行编码
val userIndex: RDD[(String, Long)] = dataTemp.map(_._1).distinct().zipWithIndex()
// (userid index, itemid, score)
val data:RDD[(Long, Long, Double)] = dataTemp.leftOuterJoin(userIndex).filter(_._2._2.nonEmpty)
.map(l => (l._2._2.get, l._2._1._1, l._2._1._2))
.persist(StorageLevel.MEMORY_AND_DISK)
println(s"使用的数据条数为：${data.count()}")
data.take(3).foreach(l => println(l))
val matrix = data.map(_ match { case (uuid, spuid, rate) => MatrixEntry(uuid, spuid, rate) })
// new CoordinateMatrix(matrix) 除了传入一个rdd之外
// 还有另外两个参数，rows 和 cols，如果不传的话默认是i，j中的最大值
val topicSims: CoordinateMatrix = new CoordinateMatrix(matrix)
// toRowMatrix() 调用的是 toIndexedRowMatrix().toRowMatrix()
val itemSim: CoordinateMatrix = topicSims.toRowMatrix().columnSimilarities()
val itemSimRDD = itemSim.entries.union(itemSim.entries.map(m => MatrixEntry(m.j, m.i, m.value)))
println("生成计算结果 ...")
itemSimRDD.map(f => (f.i.toLong, f.j.toLong, f.value)).take(10).foreach(l => println(l))
Over！
—完—