极坐标系下的曲线

在数学中，极坐标系（英语：Polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。（来自维基百科）

通过转换，极坐标的(φ, r)可以变换为直角坐标系中的(x,y)坐标，转化公式如下

这样，许多用极坐标函数表示的曲线，都可以在js里面转成直角坐标系并画出来了。下面介绍一下以下几种曲线并用canvas绘制了曲线动画：

1. 心形线

函数：

参数意义：a表示从x轴上从原点到最远点的一半。

js动画：在js中实现时，只需将极坐标角度从0到360代入方程，求出(x,y)坐标

2. 伯努利双纽线

函数：

参数意义：a表示从中心点到两端最远处的距离。

js动画：绘制时，代入角度的区间是[-45，45]，需要绘制(-x,-y)和(x,y)两部分的坐标。

3. 星形线

函数：

参数意义：a表示从中心点到最远处的距离。

js动画：在js中实现时，只需将角度从0到360代入方程，求解过程中不需要转换极坐标，直接代入x,y，求出(x,y)坐标

4. 玫瑰线

函数：

参数意义：k代表有“几朵花瓣”，如果k是奇数，则得到的花瓣数就是k，如果k为偶数，则得到的花瓣数为2k。a同上表示从中心点到最远处的距离。

js动画：当k为奇数时，角度区间在[0,180]即可闭合；当k为偶数时，区间在[0,360].

5. 阿基米德螺线

函数：

参数意义：相邻“臂”之间的距离为2*180*a

js动画：角度一般要设置大于360，才有螺线效果，例子中角度为弧度，所以相邻“臂”之间的距离为2*PI*a。

除此之外，还有这样以几何级数增大的螺线和从外往内描绘的螺线：

6. 对数螺线

函数：

js动画：

7. 双曲螺线

函数：

js动画：

以上七种曲线的demo： 展示地址

总结

在简单的图形和动画轨迹上，我们可以换一种实现思维，例如通过函数来实现。最后，使用k=6的玫瑰线定义了(x,y)坐标，并设置z坐标为 (x,y)到z轴距离的3次方根，通过threejs，设置图片的顶点数，用曲线连接画了一个小demo。

demo地址： 代码地址 展示地址