f-GAN简介：GAN模型的生产车间

今天介绍一篇比较经典的工作，作者命名为f-GAN，他在文章中给出了通过一般的$f$散度来构造一般的GAN的方案。可以毫不夸张地说，这论文就是一个GAN模型的“生产车间”，它一般化的囊括了很多GAN变种，并且可以启发我们快速地构建新的GAN变种（当然有没有价值是另一回事，但理论上是这样）。

整篇文章对$f$散度的处理事实上在机器学习中被称为“局部变分方法”，它是一种非常经典且有用的估算技巧。事实上本文将会花大部分篇幅介绍这种估算技巧在$f$散度中的应用结果。至于GAN，只不过是这个结果的基本应用而已。

首先我们还是对$f$散度进行基本的介绍。所谓$f$散度，是KL散度的一般化：

\begin{equation}\mathcal{D}_f(P\Vert Q) = \int q(x) f\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)dx\label{eq:f-div}\end{equation}

注意，按照通用的约定写法，括号内是$p/q$而不是$q/p$，大家不要自然而言地根据KL散度的形式以为是$q/p$。

可以发现，这种形式能覆盖我们见过的很多概率分布之间的度量了，这里直接把论文中的表格搬进来（部分）

$$\begin{array}{c|c|c}\hline

\textbf{距离名称} & \textbf{计算公式} & \textbf{对应的}f\\

\hline

\text{总变差} & \frac{1}{2}\int | p(x) - q(x)| dx & \frac{1}{2}|u - 1|\\

\hline

\text{KL散度} & \int p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)} dx & u \log u\\

\hline

\text{逆KL散度} & \int q(x)\log \frac{q(x)}{p(x)} dx & - \log u\\

\hline

\text{Pearson }\chi^2 & \int \frac{(q(x) - p(x))^{2}}{p(x)} dx & (u - 1)^{2}\\

\hline

\text{Neyman }\chi^2 & \int \frac{(p(x) - q(x))^{2}}{q(x)} dx & \frac{(1 - u)^{2}}{u}\\

\hline

\text{Hellinger距离} & \int \left(\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)}\right)^{2} dx & (\sqrt{u} - 1)^{2}\\

\hline

\text{Jeffrey距离} & \int (p(x) - q(x))\log \left(\frac{p(x)}{q(x)}\right) dx & (u - 1)\log u\\

\hline

\text{JS散度} & \frac{1}{2}\int p(x)\log \frac{2 p(x)}{p(x) + q(x)} + q(x)\log \frac{2 q(x)}{p(x) + q(x)} dx & -(u + 1)\log \frac{1 + u}{2} + u \log u\\

\hline

\end{array}$$

上面列举了一堆的分布度量以及对应的$f$，那么一个很自然的问题是这些$f$的共同特点是什么呢？

答案是：

1、它们都是正实数到实数的映射（$\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$）；
2、$f(1)=0$；
3、它们都是凸函数。

第一点是常规的，第二点$f(1)=0$保证了$\mathcal{D}_f(P\Vert P)=0$，那第三点凸函数是怎么理解呢？其实它是凸函数性质的一个最基本的应用，因为凸函数有一个非常重要的性质（詹森不等式）：

\begin{equation}\mathbb{E}\big[f(x)\big]\geq f\big(\mathbb{E}[x]\big)\label{eq:tuhanshu-xingzhi}\end{equation}

也就是“函数的平均大于平均的函数”，有些教程会直接将这个性质作为凸函数的定义。而如果$f(u)$是光滑的函数，我们一般会通过二阶导数$f''(u)$是否恒大于等于0来判断是否凸函数。

利用$\eqref{eq:tuhanshu-xingzhi}$，我们有

\begin{equation}\begin{aligned}\int q(x) f\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)dx =& \mathbb{E}_{x\sim q(x)} \left[f\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)\right]\\

\geq& f\left(\mathbb{E}_{x\sim q(x)} \left[\frac{p(x)}{q(x)}\right]\right)\\

=& f\left(\int q(x) \frac{p(x)}{q(x)}dx\right)\\

=& f\left(\int p(x)dx\right)\\

=& f(1) = 0

\end{aligned}\end{equation}

也就是说，这三个条件保证了$f$散度是非负，而且当两个分布一模一样时$f$散度就为0，这使得$\mathcal{D}_f$可以用来简单地度量分布之间的差异性。当然，$f$散度原则上并没有保证$P\neq Q$时$\mathcal{D}_f(P\Vert Q) \gt 0$。但通常我们会选择严格凸的$f$（即$f''(u)$恒大于0），那么这时候可以保证$P\neq Q$时$\mathcal{D}_f(P\Vert Q)\gt 0$，也就是说这时候有$\mathcal{D}_f(P\Vert Q)=0\,\Leftrightarrow\,P=Q$。（注：即便如此，一般情况下$\mathcal{D}_f(P\Vert Q)$仍然不是满足公理化定义的“距离”，不过这个跟本文主题关系不大，这里只是顺便一提。）

现在从比较数学的角度讨论一下凸函数，一般地，记凸函数的定义域为$\mathbb{D}$（对于本文来说，$\mathbb{D}=\mathbb{R}_+$）。选择任意一个点$\xi$，我们求$y=f(u)$在$u=\xi$处的切线，结果是

\begin{equation}y = f(\xi) + f'(\xi)(u - \xi)\end{equation}

考虑两者的差函数

\begin{equation}h(u) = f(u) - f(\xi) - f'(\xi)(u - \xi)\end{equation}

所谓凸函数，直观理解，就是它的图像总在它的（任意一条）切线上方，因此对于凸函数来说下式恒成立

\begin{equation}f(u) - f(\xi) - f'(\xi)(u - \xi)\geq 0\end{equation}

整理成

\begin{equation}f(u) \geq f(\xi) - f'(\xi) \xi + f'(\xi)u\end{equation}

因为不等式是恒成立的，并且等号是有可能取到的，因此可以导出

\begin{equation}f(u) = \max_{\xi\in\mathbb{D}}\big\{f(\xi) - f'(\xi) \xi + f'(\xi)u\big\}\end{equation}

换新的记号，记$t=f'(\xi)$，并从中反解出$\xi$（对于凸函数，这总能做到，读者可以自己尝试证明），然后记

\begin{equation}g(t) = - f(\xi) + f'(\xi) \xi\end{equation}

那么就有

\begin{equation}f(u) = \max_{t\in f'(\mathbb{D})}\big\{t u - g(t)\big\}\end{equation}

这里的$g(t)$就称为$f(u)$的共轭函数。留意花括号里边的式子，给定$f$后，$g$也确定了，并且整个式子关于$u$是线性的。所以总的来说，我们做了这样的一件事情：

对一个凸函数给出了线性近似，并且通过最大化里边的参数就可以达到原来的值。

注意给定$u$，我们都要最大化一次$t$才能得到尽可能接近$f(u)$的结果，否则随便代入一个$t$，只能保证得到下界，而不能确保误差大小。所以它称为“局部变分方法”，因为要在每一个点（局部）处都要进行最大化（变分）。这样一来，我们可以理解为$t$实际上是$u$的函数，即

\begin{equation}f(u) = \max_{T\text{是值域为}f'(\mathbb{D})\text{的函数}}\big\{T(u) u - g(T(u))\big\}\label{eq:max-conj}\end{equation}

上述讨论过程实际上已经给出了计算凸共轭的方法，在这里我们直接给出上表对应的凸函数的共轭函数。

$$\begin{array}{c|c}\hline

f(u) & \textbf{对应的共轭}g(t) & f'(\mathbb{D}) & 激活函数\\

\hline

\frac{1}{2}|u - 1| & t & \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] & \frac{1}{2}\tanh(x)\\

\hline

u \log u & e^{t-1} & \mathbb{R} & x\\

\hline

- \log u & -1 - \log(-t) & \mathbb{R}_- & -e^{x}\\

\hline

(u - 1)^{2} & \frac{1}{4}t^2+t & (-2,+\infty) & e^x-2\\

\hline

\frac{(1 - u)^{2}}{u} & 2 - 2\sqrt{1-t} & (-\infty, 1) & 1-e^x\\

\hline

(\sqrt{u} - 1)^{2} & \frac{t}{1-t} & (-\infty, 1) & 1-e^x\\

\hline

(u - 1)\log u & W(e^{1-t})+\frac{1}{W(e^{1-t})}+t-2 & \mathbb{R} & x\\

\hline

-(u + 1)\log \frac{1 + u}{2} + u \log u & -\log(2-e^t) & (-\infty,\log 2) & -\log(2-e^x)\\

\hline

\end{array}$$

（注：这里的$W$为 朗伯W函数 。）

由上述推导，我们就可以给出f散度的估算公式，并且进一步给出f-GAN的一般框架。

计算$f$散度有什么困难呢？根据定义$\eqref{eq:f-div}$，我们同时需要知道两个概率分布$P,Q$才可以计算两者的$f$散度，但事实上在机器学习中很难做到这一点，有时我们最多只知道其中一个概率分布的解析形式，另外一个分布只有采样出来的样本，甚至很多情况下我们两个分布都不知道，只有对应的样本（也就是说要比较两批样本之间的相似性），所以就不能直接根据$\eqref{eq:f-div}$来计算$f$散度了。

结合$\eqref{eq:f-div}$和$\eqref{eq:max-conj}$，我们得到

\begin{equation}\begin{aligned}\mathcal{D}_f(P\Vert Q) =& \max_{T}\int q(x) \left[\frac{p(x)}{q(x)}T\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)-g\left(T\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)\right)\right]dx\\

=& \max_{T}\int\left[p(x)\cdot T\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)-q(x)\cdot g\left(T\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)\right)\right]dx\end{aligned}\end{equation}

将$T\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)$记为整体$T(x)$，那么就有

\begin{equation}\mathcal{D}_f(P\Vert Q) = \max_{T}\Big(\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[T(x)]-\mathbb{E}_{x\sim q(x)}[g(T(x))]\Big)\label{eq:f-div-e}\end{equation}

式$\eqref{eq:f-div-e}$就是估计$f$散度的基础公式了。意思就是说：分别从两个分布中采样，然后分别计算$T(x)$和$g(T(x))$的平均值，优化$T$，让它们的差尽可能地大，最终的结果就是$f$散度的近似值了。显然$T(x)$可以用足够复杂的神经网络拟合，我们只需要优化神经网络的参数。

注意在对凸函数的讨论中，我们在最大化目标的时候，对$T$的值域是有限制的。因此，在$T$的最后一层，我们必须设计适当的激活函数，使得$T$满足要求的值域。当然激活函数的选择不是唯一的，参考的激活函数已经列举在前表。注意，尽管理论上激活函数的选取是任意的，但是为了优化上的容易，应该遵循几个原则：

1、对应的定义域为$\mathbb{R}$，对应的值域为要求值域（边界点可以忽略）；
2、最好选择全局光滑的函数，不要简单地截断，例如要求为$\mathbb{R}_+$的化，不要直接用$relu(x)$，可以考虑的是$e^x$或者$\log(1+e^x)$；
3、注意式$\eqref{eq:f-div-e}$的第二项包含了$g(T(x))$，也就是$g$和$T$的复合计算，因此选择激活函数时，最好使得它与$g$的复合运算比较简单。

好了，说了那么久，几乎都已经到文章结尾了，似乎还没有正式说到GAN。事实上，GAN可以算是整篇文章的副产物而已。

GAN希望训练一个生成器，将高斯分布映射到我们所需要的数据集分布，那就需要比较两个分布之间的差异了，经过前面的过程，其实就很简单了，随便找一种$f$散度都可以了。然后用式$\eqref{eq:f-div-e}$对$f$散度进行估计，估计完之后，我们就有$f$散度的模型了，这时候生成器不是希望缩小分布的差异吗？最小化$f$散度就行了。所以写成一个表达式就是

\begin{equation}\min_G\max_{T}\Big(\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[T(x)]-\mathbb{E}_{x=G(z),z\sim q(z)}[g(T(x))]\Big)\label{eq:f-div-gan}\end{equation}

就这样完了～

需要举几个例子？好吧，先用JS散度看看。把所有东西式子一步步代进去，你会发现最终结果是（略去了$\log 2$的常数项）

\begin{equation}\min_G\max_{D}\Big(\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[\log D(x)] + \mathbb{E}_{x=G(z),z\sim q(z)}[\log(1-D(x))]\Big)\end{equation}

其中$D$用$\sigma(x)=1/(1+e^{-x})$激活。这就是最原始版本的GAN了。

用Hellinger距离试试？结果是

\begin{equation}\min_G\max_{D}\Big(-\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[e^{D(x)}] - \mathbb{E}_{x=G(z),z\sim q(z)}[e^{-D(x)}]\Big)\end{equation}

这里的$D(x)$是线性激活。这个貌似还没有命名？不过论文中已经对它做过实验了。

那用KL散度呢？结果是

\begin{equation}\min_G\max_{D}\Big(\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[D(x)] - \mathbb{E}_{x=G(z),z\sim q(z)}[e^{D(x)-1}]\Big)\end{equation}

这里的$D(x)$也是线性激活。

好吧，不再距离了。其实这些$f$散度本质上都差不多，看不到效果差别有多大。不过可以注意到，JS散度和Hellinger距离都是对称的、有界的，这是一个非常好的性质，以后我们会用到。

说白了，本文主要目的还是介绍$f$散度及其局部变分估算而已～所以大部分还是理论文字，GAN只占一小部分。

当然，经过一番折腾，确实可以达到“GAN生产车间”的结果（取决于你有多少种$f$散度），这些新折腾出来的GAN可能并不像我们想象中的GAN，但它们确实在优化$f$散度。不过，以往标准GAN（对应JS散度）有的问题，其实$f$散度照样会有，因此f-GAN这个工作更大的价值在于“统一”，从生成模型的角度，并没有什么突破。

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