快速区间查询算法 - 线段树

线段树算法是一种快速查询一段区间内的信息的算法, 由于其实现简单, 所以广泛应用于程序设计竞赛中。

线段树是一棵完美二叉树, 即所有的叶子节点的深度均相同, 并且所有的非叶子节点都有两个子节点。每个节点维护一个区间, 这个区间为父节点二分后的子区间, 根节点维护整个区间, 叶子节点维护单个元素, 当元素个数为 n 时, 对区间的操作都可以在 O(log n) 的时间内完成, 因为此时树的深度为 log2 n + 1 , 每次操作只需从叶子节点开始, 往上更新至根节点, 每层只需更新相关的一个区间即可, 操作次数 log2 n + 1 , 即在 O(log n) 的时间内可完成。

可实现的功能

线段树可以提供不同的功能, 例如最常见的求区间内的最大最小值和求区间内的和, 还有其他类似的功能, 实现思路基本相同

求区间最小值(最小值)

给定任意数列 [a0, a1,...,an-1] , 在 O(log n) 的时间内完成下列的两种操作

• query(s, t) 求 [as,as+1,...,at-1] 内的最小值(最小值)
• update(i, x) 把 ai 的值改为 x

求区间的和

给定初始值全为 0 的数列 [a0, a1,...,an-1] , 在 O(log n) 的时间内完成下列的两种操作

• query(s, t) 求 [as,as+1,...,at-1] 内的和
• add(i, x) 执行 ai += x

代码实现

这里我们以 求区间最小值 内的最小值为例, 用 Python 来实现原始的一棵线段树

初始化

这里创建一个数组 dat[] 并赋予初始最大值, 为了让其成为一棵完美的二叉树, 便于计算, 我们把 n 扩大到 2的幂 , 由于我们在数组中填充了 int32 的最大整数 2147483647 , 所以多余出来的的元素总是最大值, 不会影响原来区间的结果

def init(self, n):
    self.INT_MAX = 2147483647
    self.n = 1
        
    while self.n < n:
        self.n *= 2

    self.dat = [self.INT_MAX for i in range(2 * self.n - 1)]

更新元素

我们把一棵完美二叉树压成一个数组, 下标为 i 的子节点为 i*2+1 和 i*2+2 , a0 为根节点, 每次更新时, 首先更新叶子节点, 之后一层层往上更新, 节点 a[k] = min(a[k * 2 + 1],a[k * 2 + 2]) , 操作在 O(log n) 的时间内完成

def update(self, k, a):
    k += self.n - 1
    self.dat[k] = a
    while k > 0:
        k = (k - 1) // 2
        self.dat[k] = min(self.dat[k * 2 + 1],self.dat[k * 2 + 2])

查询元素

query 的功能为查询 [a, b) 区间内的最小值, 参数 k, l, r 是辅助参数

• k 当前计算的节点
• l, r 当前节点区间的范围

def query(self, a, b, k, l, r):
    if r <= a or b <= l:
        return self.INT_MAX

    if a <= l and r <= b:
        return self.dat[k]
    else:
        vl = self.query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) // 2)
        vr = self.query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) // 2, r)
        return min(vl, vr)

结尾

至此我们就简单地实现了一棵线段树, 这只是线段树的其中一种形式, 线段树还有其他的变体。线段树的使用实例可以看我的另一篇文章 https://laboo.top/2018/11/02/acm-lc-45/#more