如何确定ARIMA模型中参数p、d、q

在先前学习的使用ARIMA预测时间序列的文章中，对于如何确定参数p、d、q还是存在一些疑问，今天学习的这篇文章主要讲解的是如何确定p、d、q参数。

实验数据：链接: https://pan.baidu.com/s/14Nt8aU3NbgzBt2lA_jmB6Q 提取码: 8rbt

读取并观察数据

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
 
data = pd.read_csv("arima-demo.csv",parse_dates=['date'],index_col='date')
print(data.head())
data.plot(figsize=(12,6))

从上图可知，存在一定的增长趋势。

时间序列的差分d

ARIMA 模型对时间序列的要求是平稳型。因此，当你得到一个非平稳的时间序列时，首先要做的即是做时间序列的差分，直到得到一个平稳时间序列。如果你对时间序列做d次差分才能得到一个平稳序列，那么可以使用ARIMA(p,d,q)模型，其中d是差分次数。

1阶差分：

diff1 = data.diff(1)
diff1.plot(figsize=(12,6))

目测已经平稳，再来看看2阶差分的效果：

diff2 = data.diff(2)
diff2.plot(figsize=(12,6))

可以看到二阶差分侯差异不大，所以这里d设置为1即可。

阶层 p 和阶数 q

现在我们已经得到一个平稳的时间序列，接来下就是选择合适的ARIMA模型，即ARIMA模型中合适的p,q。

第一步我们要先检查平稳时间序列的自相关图和偏自相关图。

diff1.dropna(inplace=True)
fig = plt.figure(figsize=(12,8))
ax1=fig.add_subplot(211)
fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(diff1,lags=40,ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(212)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(diff1,lags=40,ax=ax2)

其中lags 表示滞后的阶数，以上分别得到acf 图和pacf 图。通过两图观察得到：

• 自相关图显示滞后有3（4）个阶超出了置信边界
• 偏相关图显示在滞后1至7阶（lags 1,2,…，7）时的偏自相关系数超出了置信边界，从lag 7之后偏自相关系数值缩小至0

则有以下模型可以供选择：

• ARMA(0,1)模型：即自相关图在滞后1阶之后缩小为0，且偏自相关缩小至0，则是一个阶数q=1的移动平均模型；
• ARMA(7,0)模型：即偏自相关图在滞后7阶之后缩小为0，且自相关缩小至0，则是一个阶层p=3的自回归模型；
• ARMA(7,1)模型：即使得自相关和偏自相关都缩小至零。则是一个混合模型。

为了确定哪个模型最合适，可以采用如下准则进行判定：

• AIC=-2 ln(L) + 2 k 中文名字：赤池信息量 akaike information criterion
• BIC=-2 ln(L) + ln(n)*k 中文名字：贝叶斯信息量 bayesian information criterion
• HQ=-2 ln(L) + ln(ln(n))*k hannan-quinn criterion

arma_mod70 = sm.tsa.ARMA(diff1,(7,0)).fit()
print("arma_mod70:",arma_mod70.aic,arma_mod70.bic,arma_mod70.hqic)
arma_mod01 = sm.tsa.ARMA(diff1,(0,1)).fit()
print("arma_mod01:",arma_mod01.aic,arma_mod01.bic,arma_mod01.hqic)
arma_mod71 = sm.tsa.ARMA(diff1,(7,1)).fit()
print("arma_mod71:",arma_mod71.aic,arma_mod71.bic,arma_mod71.hqic)
 
arma_mod70: 1579.7025547690232 1602.1002820966125 1588.7304359010805
arma_mod01: 1632.3203732818517 1639.7862823910482 1635.3296669925376
arma_mod71: 1581.0916055163707 1605.9779692136922 1591.12258455199

可以看到ARMA(7,0)的aic，bic，hqic均最小，因此是最佳模型。

模型校验

在指数平滑模型下，观察ARIMA模型的残差是否是平均值为0且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），同时也要观察连续残差是否（自）相关。

残差的自相关一偏自相关

对ARMA(7,0)模型所产生的残差做自相关图：

resid = arma_mod70.resid#残差
fig = plt.figure(figsize=(12,8))
ax1 = fig.add_subplot(211)
fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(resid.values.squeeze(), lags=40, ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(212)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(resid, lags=40, ax=ax2)

看一看到大部分都在置信空间内，部分超出也只超出一点点。

D－W检验

Durbin-Watson检验 ，简称D-W检验，是目前检验自相关性最常用的方法，但它只使用于检验一阶自相关性。当DW值显著的接近于O或４时，则存在自相关性，而接近于２时，则不存在（一阶）自相关性。

print(sm.stats.durbin_watson(resid))
# 2.024244082702278

观察是否符合正态分布

这里使用 QQ图 ，它用于直观验证一组数据是否来自某个分布，或者验证某两组数据是否来自同一（族）分布。在教学和软件中常用的是检验数据是否来自于正态分布。

from statsmodels.graphics.api import qqplot
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = fig.add_subplot(111)
fig = qqplot(resid, line='q', ax=ax, fit=True)

Ljung-Box检验

Ljung-Box test是对randomness的检验,或者说是对时间序列是否存在滞后相关的一种统计检验。对于滞后相关的检验，我们常常采用的方法还包括计算ACF和PCAF并观察其图像，但是无论是ACF还是PACF都仅仅考虑是否存在某一特定滞后阶数的相关。LB检验则是基于一系列滞后阶数，判断序列总体的相关性或者说随机性是否存在。 时间序列中一个最基本的模型就是高斯白噪声序列。而对于ARIMA模型，其残差被假定为高斯白噪声序列，所以当我们用ARIMA模型去拟合数据时，拟合后我们要对残差的估计序列进行LB检验，判断其是否是高斯白噪声，如果不是，那么就说明ARIMA模型也许并不是一个适合样本的模型。

import numpy as np
r,q,p = sm.tsa.acf(resid.values.squeeze(), qstat=True)
data = np.c_[range(1,41), r[1:], q, p]
table = pd.DataFrame(data, columns=['lag', "AC", "Q", "Prob(>Q)"])
print(table.set_index('lag'))

            AC          Q  Prob(>Q)
lag                                
1.0  -0.014445   0.019203  0.889787
2.0  -0.047441   0.228719  0.891937
3.0   0.097778   1.129072  0.770061
4.0   0.047514   1.344178  0.853837
5.0   0.156219   3.697174  0.593785
6.0  -0.017855   3.728282  0.713391
7.0  -0.241230   9.475812  0.220274
8.0   0.068078   9.939217  0.269318
9.0  -0.012041   9.953895  0.354231
10.0 -0.256684  16.708543  0.081067
11.0 -0.085178  17.461885  0.094936
12.0 -0.063577  17.887029  0.119164
13.0 -0.096512  18.879634  0.126883
14.0  0.181119  22.422039  0.070348
15.0 -0.223097  27.869400  0.022401
16.0  0.012916  27.887910  0.032608
17.0  0.176769  31.402779  0.017833
18.0 -0.053140  31.724897  0.023694
19.0 -0.057704  32.110150  0.030374
20.0  0.037425  32.274556  0.040459
21.0  0.120519  34.004510  0.036199
22.0  0.102662  35.278536  0.036225
23.0 -0.007830  35.286058  0.048710
24.0 -0.148547  38.035517  0.034383
25.0  0.046254  38.306261  0.043173
26.0 -0.032621  38.443060  0.055055
27.0  0.032381  38.580025  0.069141
28.0  0.124968  40.653492  0.057760
29.0 -0.092711  41.813707  0.058361
30.0 -0.033602  41.968698  0.072016
31.0  0.011216  41.986264  0.090054
32.0 -0.016597  42.025405  0.110574
33.0 -0.047033  42.345328  0.127733
34.0  0.001922  42.345872  0.154137
35.0 -0.022258  42.420173  0.181558
36.0 -0.003481  42.422025  0.213721
37.0 -0.083009  43.495231  0.214345
38.0 -0.089174  44.758050  0.209260
39.0  0.005255  44.762523  0.242730
40.0 -0.065663  45.475168  0.254607

检验的结果就是看最后一列前十二行的检验概率（一般观察滞后1~12阶），如果检验概率小于给定的显著性水平，比如0.05就拒绝原假设，其原假设是相关系数为零。就结果来看，如果取显著性水平大于0.05，那么相关系数与零没有显著差异，即为白噪声序列。

参考链接：https://blog.csdn.net/u010414589/article/details/49622625