当量子计算遇上神经网络与深度学习，QNN初探（ Quantum Neural Networks），David 9的量子计算系列#1

曾经的存在主义与结构主义的争论，在量子世界中似乎用概率和大量抽样完成了和解 — David 9

上世纪60年代哲学界有一场关于 存在主义 与 结构主义 的争论： 存在主义 认为一个人的发展是由“ 自由意识 ”和欲望主导的; 结构主义 认为占主导的其实是社会中的经济、政治、伦理、宗教等 结构性因素 ，人只是巨大结构中的一部分。

究竟是什么塑造了一个人也许难以确定。而对于 量子世界 ，一个 qubit（量子比特）的状态 ，不仅受到量子系统的磁场影响，qubit本身也有自身状态的 变化概率和扰动 。我们一会儿可以看到，量子系统的输出，即那个qubit的 最终观测状态 ，是用概率和 大量抽样 判定的:

在细讲 QNN前（量子神经网络其实是一个量子系统） ，David 9 有必要介绍一下 量子计算 本身的一些基础知识 。

首先，量子计算与传统计算机的不同，可从 qubit （量子比特）说起，我们知道与电子计算机非 “0” 即 “1”相比 ，qubit的状态可能 同时介于“0”和“1”之间 ：

即所谓的“ 薛定谔的猫 ”的 叠加态（superposition）：

\(\frac{1} {\sqrt{2}}\)(|0>+|1>)（在量子物理中符号 |x> 表示状态x）

你们可能会问David，为什么状态系数是 1/\(\sqrt{2}\) ? 这是量子物理中的一个约定（规范化），即 平方和等于1 ：

α^2+β^2=1

其中 α 和 β 就是状态的 系数 ，是不是让你联想到圆形几何 ？

是的，在量子物理中可以把qubit想象成粒子球体（叠加或非叠加态）：

三维世界中qubit的自旋状态非常灵活，可以 上自旋（|0>） ，可以 下自旋（|1>） ，可以像地球一样 斜着自旋 ：

当然也可以 叠加态自旋（\(\frac{1} {\sqrt{2}}\)(|0>+|1>) ）

有了这么多种 qubit 状态，从根本上导致量子计算的信息量级比传统计算机大的多。

传统的 2个bit位 的计算机只能编码4种状态： 00 , 01 , 10 , 11 ，因为它只有2个位的自由度，所以 n个bit位能编码的信息只有2^n （即\(2^n\)）

而如果一个量子计算机有 2个qubit ，传统计算机的 00, 01, 10, 11这些状态就可以同时出现 ， 这4个状态本身变为4个自由度 ：

这就 导致它能编码2^4=16种状态 ，即我们需要同时确定 00, 01, 10, 11 四个状态各自的出现概率，才能得到这个系统状态的联合概率。所以 n个qubit能编码的信息有2^(2^n) （即\(2^{2^n}\)）

这样的计算量级，使得 2018年google的 72个 qubit量子计算机 就可以称霸业界。感兴趣可以计算一下2^(2^72) （即 \(2^{2^{72}}\) ）是一个多么庞大的数字。但是要保持稳定的量子系统，需要苛刻环境和极低的温度（-273摄氏度非常接近绝对零度）：

有了以上这些基本知识，跟着David 9再在来看 Google的这篇QNN设计的论文 ，就能更好理解量子计算是如何与 深度学习（神经网络 ）结合的了。

首先看基本QNN架构：

输入输出和一般的神经网络（深度学习）相似。唯一区别是QNN的 输入|ψ, 1>是n+1位qubit的状态 （这个状态是 事先根据输入样本编码准备 的，其中n是样本，1是输出qubit的占位）。而输出是经过一系列 U(θ) 变换最终得到的一个qubit在三维中 Y轴 的观察 Yn+1 ：

为了容错并得到可靠输出， Yn+1 需要经过 多次观测得到0或1的输出“label” （当然，一个qubit状态很少正好上自旋，而是一个求约的概率估计）

接下来看 U(θ) 和 U L (θ L ) 这些计算操作是什么？其中 θ  即传统神经网络中的待训练的参数（神经网络中的 权重 ） 。而对于 U （即上图中的一个个 小方块 ），和传统计算机的计算门（ “与或” 门， “或” 门 “否” 门）类似，量子计算中，常用的是线性操作的 unitary归一门（unitary operations） 。可以把他想象成一个线性矩阵，它有一个很好的性质： 通过unitary转换之后，两组qubit状态的内积值不变 。

即如果两组状态的内积用 <Φ|Ψ> 表示，即：

那么：

即经过 U  转换后，内积值不变。（其中 U+ 号表示 U 矩阵的 共轭矩阵 ）

内积值不变不仅可以帮助我们之前提到的归一化约定： α^2+β^2=1 。而且当我们在QNN中对于 θ  求梯度更新时，梯度不会太大， 天然地防止了传统神经网络中的“梯度爆炸” 问题。事实上，QNN的loss函数和一般的神经网络类似：

其中z是样本编码， l(z) 是真实样本的label，

是预测并观测的样本label。

这样， QNN通过不断对最后一个qubit的 Yn+1 的观测，与真实样本label比较，得到一个修正值，修正神经网络中的 θ 参数，并且根据 θ 参数调整每个unitary归一门操作 ，不断进行迭代并更新每个unitary归一门 ，直到QNN每次预测的 Yn+1 与真实样本的label一致。

另外，传统深度学习的成功更多地是 归功于引入非线性的激活函数（Tanh, ReLu, softmax） , 那么量子神经网络 QNN 如何引入 非线性 的呢 ？其实答案在架构图中就可以找到：

如上图，每一层 U 门（unitary变换）的输入，都是由上一层 U 门通过不同连接组合连接的，这里的不同组合就是 非线性 的（虽然 U 门本身是线性的）。

最后，值得注意的是，对于整个量子神经网络的容错文章也做了探讨和考虑，在U门操作中加入了奇偶校验和 reed-muller编码 （一种比海明码高效的校验避编码）。具体David就不展开了。

对于文章不合理以及解释不当的地方希望大家积极指出。愿在新的一年Dvaid可以和大家继续探索量子计算世界，特别是结合机器学习与深度学习的领域，以及一些实际的量子计算项目与代码。

新年快乐 ！！！

参考文献：

1. Classification with Quantum Neural Networks on Near Term Processors
2. https://www.quantiki.org/wiki/basic-concepts-quantum-computation
3. https://github.com/adamisntdead/QuSimPy
4. https://ai.googleblog.com/search/label/Quantum%20AI
5. https://github.com/quantumlib/Cirq
6. intriganod的量子计算youtube教学视频
7. How Does a Quantum Computer Work? youtube教学视频
8. 量子的unitary变换讲解视频
9. https://www.slideshare.net/ProjectStudent/error-checking-and-correction-parity-bit-majority-voting-check-digit
10. https://baike.baidu.com/item/reed-muller/407684
11. https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

本文采用 署名 – 非商业性使用 – 禁止演绎 3.0 中国大陆许可协议 进行许可。著作权属于“David 9的博客”原创，如需转载，请联系微信: david9ml，或邮箱：yanchao727@gmail.com

或直接扫二维码: