【来龙去脉系列】RSA算法原理

栏目: 编程工具 · 发布时间: 2天前

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如果你问我,哪一种 算法 最重要?

我可能会回答 "公钥加密算法"

【来龙去脉系列】RSA算法原理

因为它是计算机通信安全的基石,保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下,信用卡交易被破解的后果。

进入正题之前,我先简单介绍一下,什么是"公钥加密算法"。

一、一点历史

1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:

 (1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
 (2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则(简称"密钥"),这被称为 "对称加密算法" (Symmetric-key algorithm)。

这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。保存和传递密钥,就成了最头疼的问题。

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1976年,两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman,提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成解密。这被称为 "Diffie-Hellman密钥交换算法" 。这个算法启发了其他科学家。人们认识到,加密和解密可以使用不同的规则,只要这两种规则之间存在某种对应关系即可,这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

 (1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。
 (2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。
 (3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开,那么只要私钥不泄漏,通信就是安全的。

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1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做 RSA算法 。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。

这种算法非常 可靠 ,密钥越长,它就越难破解。根据已经披露的文献,目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说,长度超过768位的密钥,还无法破解(至少没人公开宣布)。因此可以认为,1024位的RSA密钥基本安全,2048位的密钥极其安全。

下面,我就进入正题,解释RSA算法的原理。文章共分成两部分,今天是第一部分,介绍要用到的四个数学概念。你可以看到,RSA算法并不难,只需要一点 数论知识 就可以理解。

二、互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是 互质关系 (coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系,不难得到以下结论:

 1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。
 2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。
 3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。
 4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。
 5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。
 6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

三、欧拉函数

请思考以下问题:

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做 欧拉函数 ,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则

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比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

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可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

 n = p1 × p2

 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到 "中国剩余定理" ,这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

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根据第4条的结论,得到

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再根据第3条的结论,得到

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也就等于

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这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:

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四、欧拉定理

欧拉函数的用处,在于 欧拉定理 。"欧拉定理"指的是:

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

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也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,

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已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

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因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

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这就是著名的 费马小定理 。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。

五、模反元素

还剩下最后一个概念:

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

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这时,b就叫做a的 "模反元素"

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

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可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

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好了,需要用到的数学工具,全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识,就是上面这些,下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

上一次,我介绍了一些 数论知识

有了这些知识,我们就可以看懂 RSA算法 。这是目前地球上最重要的加密算法。

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六、密钥生成的步骤

我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设 爱丽丝 要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?

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第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)

第二步,计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

 n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。

根据公式:

 φ(n) = (p-1)(q-1)

爱丽丝算出φ(3233)等于60×52,即3120。

第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。

爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓 "模反元素" 就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

 ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

 ed - 1 = kφ(n)

于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

 ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120,

 17x + 3120y = 1

这个方程可以用 "扩展欧几里得算法" 求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。

至此所有计算完成。

第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。

实际应用中,公钥和私钥的数据都采用 ASN.1 格式表达( 实例 )。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:

 p  q  n  φ(n)  e  d

这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

 (1)ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。
 (2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。
 (3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。

可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道:

 "对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。
 假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
 只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

它等于这样两个质数的乘积:

 33478071698956898786044169  84821269081770479498371376  85689124313889828837938780  02287614711652531743087737  814467999489  ×  36746043666799590428244633  79962795263227915816434308  76426760322838157396665112  79233373417143396810270092  798736308917

事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

八、加密和解密

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。

(1)加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。

所谓"加密",就是算出下式的c:

m e ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:

65 17 ≡ 2790 (mod 3233)

于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

(2)解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:

c d ≡ m (mod n)

也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出

2790 2753 ≡ 65 (mod 3233)

因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如 DES ),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

九、私钥解密的证明

最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:

c d ≡ m (mod n)

因为,根据加密规则

e ≡ c (mod n)

于是,c可以写成下面的形式:

c = m e - kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则:

(m e - kn) d ≡ m (mod n)

它等同于求证

m ed ≡ m (mod n)

由于

 ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

 ed = hφ(n)+1

将ed代入:

m hφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来,分成两种情况证明上面这个式子。

(1)m与n互质。

根据欧拉定理,此时

m φ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

(m φ(n) ) h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

(2)m与n不是互质关系。

此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:

(kp) q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

[(kp) q-1 ] h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

(kp) ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

(kp) ed = tq + kp

这时t必然能被p整除,即 t=t'p

(kp) ed = t'pq + kp

因为 m=kp,n=pq,所以

m ed ≡ m (mod n)

原式得到证明。

首先,每个用户都有两把钥匙,一把公钥一把私钥。公钥是对外发布的,所有人都看的到所有人的公钥,私钥是自己保存,每个人都只知道自己的私钥而不知道别人的。

用该用户的公钥加密后只能该用户的私钥才能解密。这种情况下,公钥是用来加密信息的,确保只有特定的人(用谁的公钥就是谁)才能解密该信息。

下面我拿A银行和小明来举例子吧。

假设这2者之间是用不对称的加密算法来保证信息传输的安全性(不被第三人知道信息的含义及篡改信息)。大致流程如下:

首先小明发了一条信息给A银行“我要存500元”。这条信息小明会根据A银行的对外发布的公钥把这条信息加密了,加密之后,变成“XXXXXXX”发给A银行。中间被第三者截获,由于没有A银行的私钥无法解密,不能知道信息的含义,也无法按正确的方式篡改。所以拿这条加密信息是没办法的。最后被A银行接受,A银行用自己的私钥去解密这条信息,解密成功,读取内容,执行操作。然后得知消息是小明发来的,便去拿小明的公钥,把“操作成功(或失败)”这条信息用小明的公钥加密,发给小明。同理最后小明用自己的私钥解开,得知知乎发来的信息内容。其他人截获因为没有小明的私钥所以也没有用。

还有第二种情况,公钥是用来解密信息的,确保让别人知道这条信息是真的由我发布的,是完整正确的。接收者由此可知这条信息确实来自于拥有私钥的某人,这被称作数字签名,公钥的形式就是数字证书。怎么理解呢?

继续拿小明和银行A举例子。银行A发布了一个银行客户端的补丁供所有用户更新,那为了确保人家下载的是正确完整的客户端,银行A会为这个程序打上一个数字签名(就是用银行A的私钥对这个程序加密然后发布),你需要在你的电脑里装上银行A的数字证书(就是银行对外发布的公钥),然后下载好这个程序,数字证书会去解密这个程序的数字签名,解密成功,补丁得以使用。同时你能知道这个补丁确实是来自这个银行A,是由他发布的,而不是其他人发布的。


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