从简单二叉树问题重新来看深度优先搜索

LeetCode 104. Maximum Depth of Binary Tree

给定一个二叉树，求这个二叉树的最大深度，一道很简单的二叉树问题，题目一理解，我们很容易就知道，我们要递归去求解，但是这里还是需要思考的是，是不是这道题就一种递归思路？递归实现的代码往往非常简洁，但是仅仅是一个地方的细微差别，反应出来的是两种完全不一样的思路。我们一起来看看。

不同解法分析

最开始做这道题，我想的非常简单，思路是：把整个二叉树遍历一遍，每个节点都记录一下当前的深度，然后对比求出最大深度即可。于是我写出了下面的代码：

private int max = 1;
public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    helper(root, 1);
    
    return max;
}

private void helper(TreeNode root, int currentDepth) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    
    max = Math.max(max, currentDepth);
    
    helper(root.left, currentDepth + 1);
    helper(root.right, currentDepth + 1);
}
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你可以看到这里我定义了一个全局变量 max 来记录当前访问过的所有节点中的最大深度，最后遍历完所有节点，max 就是题目要求的解。这么做从时间空间复杂度分析其实都没有啥毛病，但是这么写确实会让代码变得有点冗余，经过思考之后，改进得到下面的代码

public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    int left = maxDepth(root.left);
    int right = maxDepth(root.right);
    
    return Math.max(left, right) + 1;
}
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这里没有定义额外的全局变量或者辅助函数，递归和之前不同的点仅仅是 “更新值” 先后的问题，而且有一点特别重要的是这里的递归是带返回值的，之前的递归是不带返回值的。那这说明什么呢？是说明带返回值的递归一定就比不带返回值的递归更优吗？其实不是，我们要根据具体情况具体分析，针对这道题，这两种解法确实第二种来的更为简洁，但是明白思路更加的重要，第一种的思路是有点类似 遍历 ，但是这里用的是递归去遍历，并不是我们通常使用的 for 循环， 每到一个树节点就去做一下相应的记录，然后去到下一个树节点做类似的记录，最后把所有的记录汇总就是我们要的答案 ，第二种思路其实就是 分治 ，它的核心是 先分再合 ，每个节点只负责分跟合，这里的分就是当前树节点如果有子节点就分下去，合是指将子节点的结果以及当前的值进行统一、合并。你可能会觉得分治就一定比之前的递归遍历更优，先别急着下这个结论，看看树的中序遍历吧， LeetCode 94. Binary Tree Inorder Traversal ，思考一下，试着用两种不同的思路去解，相信你会得出和这道题完全相反的结论。

思路总结

之前做了挺多的深度优先相关的算法题，像是排列问题，组合问题，N 皇后问题，这些题目都是回溯的思想，条件满足就更新，你很少会去关注当前层和上面一层的联系，这里的递归也不需要任何的返回值，原因很简单，每一层不需要向上一层反应情况，操作都是基于全局变量或者堆内存的。但是反观 分治 则情况大不相同，可以举一个我们工作生活中的例子来加以说明：

老板
            / | \
          经理...经理
         / | \    / | \
      员工...员工 员工...员工
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这里一个公司只有一个老板，老板管理着很多的部门，每接到项目，老板都会将这些项目交给不同的部门去做，我们这里假设部门之间相互没有联系（分治算法中不存在重复子问题），每个部门由一个经理来负责，经理会将项目拆分成小任务并分配给不同的员工去处理，到这里，分配就结束了。员工做完了分配的任务后，向上汇报情况，经理将所有员工汇报的情况整合，继续向上汇报，最后老板根据所有部门经理汇报的情况来产生出公司的策略，也就是最后的解。这个例子很好的解释了分治算法的思想，不一样的是，这个例子中的员工、经理、老板做的是不一样的事情，但是分治算法会更加的简单，每一层做的事情都是一样的，只是根据子问题得到的数据不一样，因而结果就会不一样。你可以看到分治其实就是 先分再合，自底向上传递结果的过程 。因为要传递结果，所以递归函数往往就需要有返回值，但是这并不绝对，像 快速排序 这样利用分治思想的算法的递归函数就没有返回值，这是因为它的结果都会记录在同一个数组中。

延伸

看完上面的内容你可能会有一个疑问，是不是深度优先搜索必须依靠递归来实现？其实并不是，函数递归本质上是函数调用函数自己，在系统的底层，我们借助的是函数栈来保存之前的函数，也就是上一层的内容，如果不使用递归，那么就是说我们不能依靠系统为我们提供的函数栈，因此我们需要手动建立一个栈来保存上一层需要的内容，对于这道简单的二叉树问题，代码如下：

public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    Stack<TreeNode> stackTree = new Stack<>();
    Stack<Integer> stackDepth = new Stack<>();
    
    stackTree.push(root);
    stackDepth.push(1);
    
    int max = 1;
    while (!stackTree.isEmpty()) {
        TreeNode curNode = stackTree.pop();
        int curDepth = stackDepth.pop();
        
        if (curNode.left != null) {
            stackTree.push(curNode.left);
            stackDepth.push(curDepth + 1);
        }
        
        if (curNode.right != null) {
            stackTree.push(curNode.right);
            stackDepth.push(curDepth + 1);
        }
        
        if (curNode.left == null && curNode.right == null) {
            max = Math.max(max, curDepth);
        }
    }
    
    return max;
}
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这里我用了两个栈的原因是有两个变量需要保存，一个是节点，另一个是节点对应的深度，当然你也可以把他们合二为一作为一个新的 Object。自己手动实现一遍，相信会加深你对递归的理解。

其实在普通的深度优先搜索算法的基础之上，我们也可以看到动态规划的影子。一般的深度优先搜索是对之前的子问题的结果不进行保存的，就拿这道题为例子，当你得到最后的解的时候，这时你只知道整颗树的最大深度，但是你并不知道左子树，以及右子树的最大深度，想要知道的话，就得重新再针对左子树或者右子树深度优先搜索走一遍，但是，其实你之前计算整颗树的最大深度的时候，已经将左子树和右子树的最大深度计算过了，因为（maxDepth = Max(leftMaxDepth, rightMaxDepth)）+ 1，如果我们用一个数据结构，比如数组或者散列，去记录这些子问题的解，用到的时候直接去这些数据结构中对应着找，那么这样的思想就是动态规划，只是这时它是以递归的形式呈现在这里。当然在这道题当中，记不记录并没有区别，因为没有重复的子问题，换句话说就是除根节点外，一个节点有且仅有一个父节点。可以看之前我分析过的一个算法题 LeetCode 312 Burst Balloons 思路分析总结 ，这里面提到了一个很好的分析搜索类，以及动态规划类问题的思路步骤就是：

1. 暴力的深度优先搜索
2. 画出/思考出问题和子问题的关系，看有没有重复子问题
3. 如果有重复子问题，考虑增加记忆化的数据结构
4. 据此，思考动态规划的状态和递推方程
5. 实现动态规划

这些步骤并不是对于每到题都要走完的，对于像排列、组合这类问题到第二步就结束了，但是对于很多动态规划问题我们需要一直走完五个步骤，虽然繁琐了些，但是确实可以加强我们方向和思路。以我往常的经验，动态规划问题怕就怕在没有思路，没有思路就会寸步难行。