用Numpy搭建神经网络第二期：梯度下降法的实现

大数据文摘出品

作者：蒋宝尚

小伙伴们大家好呀~~用Numpy搭建神经网络，我们已经来到第二期了。第一期文摘菌教大家如何用Numpy搭建一个简单的神经网络，完成了前馈部分。

这一期，为大家带来梯度下降相关的知识点，和上一期一样，依然用Numpy实现梯度下降。在代码开始之前，先来普及一下梯度下降的知识点吧。

梯度下降：迭代求解模型参数值

第一期文章中提到过，最简单的神经网络包含三个要素，输入层，隐藏层以及输出层。关于其工作机理其完全可以类比成一个元函数：Y=W*X+b。即输入数据X，得到输出Y。

如何评估一个函数的好坏，专业一点就是拟合度怎么样？最简单的方法是衡量真实值和输出值之间的差距，两者的差距约小代表函数的表达能力越强。

这个差距的衡量也叫损失函数。显然，损失函数取值越小，原函数表达能力越强。

那么参数取何值时函数有最小值？一般求导能够得到局部最小值（在极值点处取）。而梯度下降就是求函数有最小值的参数的一种方法。

梯度下降数学表达式

比如对于线性回归，假设函数表示为h _θ （x _1， x ₂ …x _n ）=θ ₀ +θ ₁ x ₁ +..+θ _n x _n ，其中w _i (i=0，1，2...n）为模型参数，x _i （i=0，1，2...n）为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x ₀ =1，这样h(x _o ，x ₁ ，.…x _n )=θ ₀ x ₀ +θ ₁ x ₁ +..+θ _n x _n 。同样是线性回归，对应于上面的假设函数，损失函数为（此处在损失函数之前加上1/2m，主要是为了修正SSE让计算公式结果更加美观，实际上损失函数取MSE或SSE均可，二者对于一个给定样本而言只相差一个固定数值）：

算法相关参数初始化：主要是初始化θ ₀ ，θ ₁ ..，θ _n ，我们比较倾向于将所有的初始化为0，将步长初始化为1。在调优的时候再进行优化。

对θ _i 的梯度表达公式如下:

用步长（学习率）乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即：

梯度下降法的矩阵方式描述

对应上面的线性函数，其矩阵表达式为:

损失函数表达式为：

其中Y为样本的输出向量。

梯度表达公式为：

还是用线性回归的例子来描述具体的算法过程。损失函数对于向量的偏导数计算如下：

迭代：

两个矩阵求导公式为：

用 Python 实现梯度下降

<span style="">import pandas as pd</span>

<span>import numpy as np</span>

导入两个必要的包。

<span><span>def</span> <span>regularize(xMat):</span></span>

<span> <span>inMat</span>=<span>xMat. copy()</span></span>

<span> <span>inMeans</span>=<span>np. mean(inMat, axis=0)</span></span>

<span> <span>invar</span>=<span>np. std(inMat, axis=0)</span></span>

<span> <span>inMat</span>=<span>(inMat-inMeans)/invar </span></span>

<span> <span>return</span> <span>inMat</span></span>

定义标准化函数，不让过大或者过小的数值影响求解。

定义梯度下降函数：

def BGD_LR(data alpha=0.001, maxcycles=500):

xMat=np. mat(dataset)

yMat=np. mat(dataset).T

xMat=regularize(xMat)

m,n=xMat.shape

weights=np. zeros((n,1))

for i in range(maxcycles):

grad=xMat.T*(xMat * weights-yMat)/m

weights=weights -alpha* grad

return weights

其中，dataset代表输入的数据，alpha是学习率，maxcycles是最大的迭代次数。

即返回的权重就是说求值。np.zeros 是初始化函数。grad的求取是根据梯度下降的矩阵求解公式。

本文参考B站博主 菊安酱的机器学习。感兴趣的同学可以打开链接观看 视频哟~

https://www.bilibili.com/video/av35390140

好了，梯度下降这个小知识点就讲解完了，下一期，我们将第一期与第二期的知识点结合，用手写数字的数据完成一次神经网络的训练。