用Python玩烧脑小游戏《一笔画完》，瞬间闯到100关

昨天和朋友出去外面吃饭，吃完饭后朋友打开了一个小程序玩了起来......

游戏长这样

大概玩法是：从地图中猫的位置开始出发，并且经过所有的格子就算过关。游戏还算挺有意思的，经过我的不断努力终于过到了 30 来关的样子。

并且随着游戏关卡的增加，游戏难度也变得越来越大，过一关需要非常久的时间。

最近也正好在研究算法，就打算看能不能写个通用的算法来找出每个地图的解。

哥尼斯堡的"七桥问题"

这个游戏的玩法和哥尼斯堡的"七桥问题"有点类似。

哥尼斯堡的"七桥问题"：18 世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如下图)。是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?

当时人们想到的证明方法是把七座桥的走法都列出来一个一个试验，用排列组合的知识很容易得到七座桥所有的走法大概有 7! = 5040 种，如果真的逐一试验，会是个很大的工作量。

但数学家欧拉没有这样想，欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，七座桥抽象成连接每个顶点的七条边，那么这个问题就能被抽象成下面的图：

假设每座桥都恰好走过一次，那么对于 A、B、C、D 四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开，进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边。

也就是说：每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

很明显，上图中 A、C、D 三个顶点相连的边都有 3 条，B 顶点的相连边为 5 条，都是奇数。因此这个图无法从一个顶点出发，且恰好走过每座桥一次。

由此次证明，人们又得到了欧拉路关系，要使得一个图形可以一笔画完，必须满足如下两个条件：

• 图形必须是连通的不能有孤立的点。
• 图中拥有奇数连接边的点必须是 0 或 2。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。那么这个游戏是不是就是让我们找到一条欧拉路呢?

对游戏进行抽象

按照上面证明七桥问题的方法，我们可以将游戏的地图抽象成这样：

• 其中 14 号顶点为起点。
• 顶点和边的关系在程序中可以刻画成一个二维列表。

graph = [ 
    [1, 6],    #0 
    [0, 2],    #1 
    [1, 7, 3], #2 
    ... 
    [24, 19]   #25 
] 

graph 列表的第一层表示每一个顶点，第二层则是与当前顶点有边的顶点。

抽象完这张游戏地图后可以很清楚知道，这游戏并不是让我们找到一条欧拉路。

因为找到一条欧拉路，需要的是经过每一座桥，且只经过一次，也就是说每个顶点可以被多次经过。

而这个游戏需要的是经过每一个顶点，并不要求走完每一座桥，且顶点只能被经过一次。

哈密顿通路

在研究了七桥问题发现并不能解决这类问题后，我开始向团队的表哥们请教，其中一个表哥告诉我此类问题叫做哈密顿图 (这里感谢下团队的**@xq17**表哥)。

这里说的哈密顿图，实际上是哈密顿通路的一种特殊情况，指的是：由指定的起点出发，途中经过所有其他顶点且只经过一次 ，最后返回起点，称之为哈密顿回路。如果给定的图 G 具有哈密顿回路，则称图 G 为哈密顿图。

那么现在目标明确了，这个游戏的解法就是找到某个给定图的哈密顿通路。

但是问题来了！！！哈密顿通路问题，在上世纪七十年代初，被证明是 NP-hard 问题：

• 一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为 P 类问题。
• 一个复杂问题如果不能确定在多项式时间内解决，那么它便被称为 NP 类问题。

什么意思呢？就拿质因数分解来说吧：

• P 类问题：23x37=?
• NP 类问题：已知 axb=740914799，且 a 和 b 都是质数，求 a 和 b 的值

让我们来看看这个问题有多复杂：

• 因为 axb=740914799，且 a 和 b 都是质数
• 设 P={x|2<=x<740914799/2，x 是质数}
• 易得 (a，b)∈PxP，即 P 与它自身的笛卡尔积

我们用一种叫做筛法的算法来求一下 P 集合的元素个数：

#! /usr/bin/env python 
# -*- coding: utf-8 -*- 
# Coding with love by Naiquan. 
import math 
import time 
start = time.clock() 
number = int(740914799/2) 
marks_list = [True] * (number + 1) 
marks_list[0] = marks_list[1] = False 
for i in range(2, int(math.sqrt(number)) + 1): 
    j = i 
    t = j 
    # 去掉倍数 
    while j * t <= number: 
        marks_list[j * t] = False 
        t += 1 
elapsed = str(time.clock() - start) 
print marks_list.count(True) 
print "Time used:" + elapsed 

一共有 19841519 个质数，算了我大概 14 分钟。

PxP 的元素个数一共有 19841519^2 个，要一个个验证是否等于 740914799，无疑又是一项很大的工程，这就是典型的 NP 类问题。NP 类问题虽然难，但是可以很快验证一个给定的答案，是否正确。

比如上面的题，我告诉你答案 a=22229，b=33331，你很快就能验证答案是否正确了。而 NP-hard 问题则是比 NP 问题更难的问题，例如：围棋。

也就是说并不能找到一个友好的算法，来解决哈密顿通路问题。

算法设计

虽然找到一个图的哈密顿通路是 NP 困难的，但是好在游戏中的顶点不算太多，还是可以使用暴力一点的方法实现的，例如：图的深度优先遍历法(DFS) 即递归和回溯法思想。

算法流程：

①将当前顶点压入已访问栈和路径栈中。

②将与当前顶点相通的顶点列出来。

③随机选取一个相通的顶点，并判断此顶点是否在已访问栈中：

• 在已访问栈中则取另一个相通的顶点。
• 不在则将这个相通的顶点作为当前顶点。
• 若所有相通的顶点都在已访问栈中， 则判断路径栈是否包含所有顶点。
• 路径栈中包含所有顶点，则路径栈为当前图的哈密顿通路。
• 不包含所有顶点则回到父顶点， 并从已访问栈和路径栈中删除。

④反复执行 1~3。

算法实现

上面说过图的顶点和边的关系可以用一个二维列表来描述：

graph = [ 
    [1, 6],    #0 
    [0, 2],    #1 
    [1, 7, 3], #2 
    ... 
    [24, 19]   #25 
] 

但是要手动输入这些顶点和边的关系还是太麻烦了。仔细想了下，如果每个顶点的上下左右有顶点，就一定与上下左右的顶点有边。

那么这个二维列表就可以简化成

graph = [ 
    [1,1,1,1,1,1], 
    [1,0,1,1,0,1], 
    [1,1,1,1,1,1], 
    [1,0,1,1,0,1], 
    [1,1,1,1,1,1], 
    [0,0,0,0,0,0]    #每个1代表一个顶点 1与上下左右的1都有边 与0则没有 长宽相等易于编写代码 
] 

还可以再简化成一维列表：

graph = [ 
    '111111', 
    '101101', 
    '111111', 
    '101101', 
    '111111', 
    '000000' 
] 

简直机智如我啊！于是我写了个函数对一维列表进行转换：

def get_index(i, j, G): 
    num = 0 
    for a in xrange(i): 
        num += G[a].count('0') 
    for b in xrange(j): 
        if G[i][b] == '0': 
            num += 1 
    return i * len(G) + j - num 
def get_graph(G): 
    G = [list(x) for x in G] 
    EG = [] 
    for i in xrange(len(G)): 
        for j in range(len(G[i])): 
            if G[i][j] == '0': 
                continue 
            side_list = [] 
            if j+1 <= len(G[i]) - 1: 
                if G[i][j+1] == '1': 
                    index = get_index(i, j+1, G) 
                    side_list.append(index) 
            if j-1 >= 0: 
                if G[i][j-1] == '1': 
                    index = get_index(i, j-1, G) 
                    side_list.append(index) 
            if i+1 <= len(G) - 1: 
                if G[i+1][j] == '1': 
                    index = get_index(i+1, j, G) 
                    side_list.append(index) 
            if i-1 >= 0: 
                if G[i-1][j] == '1': 
                    index = get_index(i-1, j, G) 
                    side_list.append(index) 
            EG.append(side_list) 
    return EG 

而算法的实现用图的邻接矩阵则更为方便，因此我写了一个将上列二位列表转换成邻接矩阵形式的函数：

def get_matrix(graph): 
    result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))]  # 初始化 
    for i in xrange(len(graph)): 
        for j in graph[i]: 
            result[i][j] = 1  # 有边则为1 
    return result 

主要的 DFS 算法如下：

# graph为图的邻接矩阵 used为已访问栈 path为路径栈 step为已经遍历的顶点的个数 
def dfs(graph, path, used, step): 
    if step == len(graph): # 判断顶点是否被遍历完毕 
        print path 
        return True 
    else: 
        for i in xrange(len(graph)): 
            if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1: 
                used[i] = True 
                path[step] = i 
                if dfs(graph, path, used, step+1): 
                    return True 
                else: 
                    used[i] = False  # 回溯 返回父节点 
                    path[step] = -1 
    return False 
def main(graph, v): 
    used = []  # 已访问栈 
    path = []  # 路径栈 
    for i in xrange(len(graph)): 
        used.append(False)  # 初始化 所有顶点均未被遍历 
        path.append(-1)     # 初始化 未选中起点及到达任何顶点 
    used[v] = True          # 表示从起点开始遍历 
    path[0] = v             # 表示哈密顿通路的第一个顶点为起点 
    dfs(graph, path, used, 1) 

完整代码如下：

#! /usr/bin/env python 
# -*- coding: utf-8 -*- 
# Coding with love by Naiquan. 
def dfs(graph, path, used, step): 
    if step == len(graph): 
        print path 
        return True 
    else: 
        for i in xrange(len(graph)): 
            if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1: 
                used[i] = True 
                path[step] = i 
                if dfs(graph, path, used, step+1): 
                    return True 
                else: 
                    used[i] = False 
                    path[step] = -1 
    return False 
def main(graph, v): 
    used = [] 
    path = [] 
    for i in xrange(len(graph)): 
        used.append(False) 
        path.append(-1) 
    used[v] = True 
    path[0] = v 
    dfs(graph, path, used, 1) 
def get_index(i, j, G): 
    num = 0 
    for a in xrange(i): 
        num += G[a].count('0') 
    for b in xrange(j): 
        if G[i][b] == '0': 
            num += 1 
    return i * len(G) + j - num 
def get_graph(G): 
    G = [list(x) for x in G] 
    EG = [] 
    for i in xrange(len(G)): 
        for j in range(len(G[i])): 
            if G[i][j] == '0': 
                continue 
            side_list = [] 
            if j+1 <= len(G[i]) - 1: 
                if G[i][j+1] == '1': 
                    index = get_index(i, j+1, G) 
                    side_list.append(index) 
            if j-1 >= 0: 
                if G[i][j-1] == '1': 
                    index = get_index(i, j-1, G) 
                    side_list.append(index) 
            if i+1 <= len(G) - 1: 
                if G[i+1][j] == '1': 
                    index = get_index(i+1, j, G) 
                    side_list.append(index) 
            if i-1 >= 0: 
                if G[i-1][j] == '1': 
                    index = get_index(i-1, j, G) 
                    side_list.append(index) 
            EG.append(side_list) 
    return EG 
def get_matrix(graph): 
    result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))] 
    for i in xrange(len(graph)): 
        for j in graph[i]: 
            result[i][j] = 1 
    return result 
if __name__ == '__main__': 
    map_list = [ 
        '111111', 
        '101101', 
        '111111', 
        '101101', 
        '111111', 
        '000000' 
    ] 
    G = get_graph(map_list) 
    map_matrix = get_matrix(G) 
    # print map_matrix 
    SP = 14 
    main(map_matrix, SP) 

结束

在实现了功能后，我拿着这个程序成功过到了差不多一百关，然后就玩腻了，哈哈哈哈哈哈哈哈哈

本文参考资料：

• 七桥问题_百度百科

https://baike.baidu.com/item/七桥问题/2580504?fr=aladdin

• 哈密顿图_百度百科

https://baike.baidu.com/item/哈密顿图/2587317?fr=aladdin

• 这个数学题我做可以，但世界毁灭了别怪我

https://www.bilibili.com/video/av19009866

• 基于回溯法寻找哈密顿回路

http://www.cnblogs.com/cielosun/p/5654577.html