一分钟说清楚并查集

分离集合(disjoint set)是一种经典的数据结构，它有三类操作：

• Make-set(a)：生成包含一个元素a的集合S;
• Union(X, Y)：合并两个集合X和Y;
• Find-set(a)：查找元素a所在集合S，即通过元素找集合句柄;

它非常适合用来解决集合合并与查找的问题，也常称为并查集。

一、并查集的链表实现

如上图，并查集可以用链表来实现。

(1) 链表实现的并查集，Find-set(a)的时间复杂度是多少?

集合里的每个元素，都指向“集合的句柄”，这样可以使得“查找元素a所在集合S”，即Find-set(a)操作在O(1)的时间内完成。

(2) 链表实现的并查集，Union(X, Y)的时间复杂度是多少?

假设有集合：

S1={7,3,1,4} 
S2={1,6} 

合并S1和S2两个集合，需要做两件事情：

• 第一个集合的尾元素，链向第二个集合的头元素(蓝线1);
• 第二个集合的所有元素，指向第一个集合的句柄(蓝线2,3);

合并完的效果是：

变成了一个更大的集合S1。

集合合并时，将短的链表，往长的链表上接，这样变动的元素更少，这个优化叫做“加权合并”。

画外音：实现的过程中，集合句柄要存储元素个数，头元素，尾元素等属性，以方便上述操作进行。

假设每个集合的平均元素个数是n，Union(X, Y)操作的时间复杂度是O(n)。

(3) 能不能Find-set(a)与Union(X, Y)都在O(1)的时间内完成呢?

可以，这就引发了并查集的第二种实现方法。

二、并查集的有根树实现

(1) 什么是有根树，和普通的树有什么不同?

常用的set，就是用普通的二叉树实现的，其元素的数据结构是：

element{ 
         int data; 
         element* left; 
         element* right; 
} 

通过左指针与右指针，父亲节点指向儿子节点。

而有根树，其元素的数据结构是：

element{ 
         int data; 
         element* parent; 
} 

通过儿子节点，指向父亲节点。

假设有集合：

S1={7,3,1,4} 
S2={1,6} 

通过如果通过有根树表示，可能是这样的：

所有的元素，都通过parent指针指向集合句柄，所有元素的Find-set(a)的时间复杂度也是O(1)。

画外音：假设集合的首个元素，代表集合句柄。

(2) 有根树实现的并查集，Union(X, Y)的过程如何?时间复杂度是多少?

通过有根树实现并查集，集合合并时，直接将一个集合句柄，指向另一个集合即可。

如上图所示，S2的句柄，指向S1的句柄，集合合并完成：S2消亡，S1变为了更大的集合。

容易知道，集合合并的时间复杂度为O(1)。

会发现，集合合并之后，有根树的高度变高了，与“加权合并”的优化思路类似，总是把节点数少的有根树，指向节点数多的有根树(更确切的说，是高度矮的树，指向高度高的树)，这个优化叫做“按秩合并”。

(3) 新的问题来了，集合合并之后，不是所有元素的Find-set(a)操作都是O(1)了，怎么办?

如图S1与S2合并后的新S1，首次“通过元素6来找新S1的句柄”，不能在O(1)的时间内完成了，需要两次操作。

但为了让未来“通过元素6来找新S1的句柄”的操作能够在O(1)的时间内完成，在首次进行Find-set(“6”)时，就要将元素6“寻根”路径上的所有元素，都指向集合句柄，如下图。

某个元素如果不直接指向集合句柄，首次Find-set(a)操作的过程中，会将该路径上的所有元素都直接指向句柄，这个优化叫做“路径压缩”。

画外音：路径上的元素第二次执行Find-set(a)时，时间复杂度就是O(1)了。

实施“路径压缩”优化之后，Find-set的平均时间复杂度仍是O(1)。

结论

通过链表实现并查集：

• Find-set的时间复杂度，是O(1)常数时间
• Union的时间复杂度，是集合平均元素个数，即线性时间

画外音：别忘了“加权合并”优化。

通过有根树实现并查集：

• Union的时间复杂度，是O(1)常数时间
• Find-set的时间复杂度，通过“按秩合并”与“路径压缩”优化后，平均时间复杂度也是O(1)

使用并查集，非常适合解决“微信群覆盖”问题。

思路比结论重要，有收获就是好的。

【本文为51CTO专栏作者“58沈剑”原创稿件，转载请联系原作者】

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