leetcode410. Split Array Largest Sum

题目要求

Given an array which consists of non-negative integers and an integer m, you can split the array into m non-empty continuous subarrays. Write an algorithm to minimize the largest sum among these m subarrays.

Note:
If n is the length of array, assume the following constraints are satisfied:

1 ≤ n ≤ 1000
1 ≤ m ≤ min(50, n)
Examples:

Input:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2

Output:
18

Explanation:
There are four ways to split nums into two subarrays.
The best way is to split it into [7,2,5] and [10,8],
where the largest sum among the two subarrays is only 18.

将一个长度为n的正整数数组分割为m个非空的连续子数组，并分别计算每个子数组中所有元素的和。求一种分割方式，使得该分割方式生成的最大子数组和为所有分割方式中最小的。

比如题目中的例子 nums = [7,2,5,10,8]，m = 2
一共有四种分割方式：

1. [7], [2,5,10,8]
2. [7,2], [5,8,10]
3. [7,2,5], [8,10]
4. [7,2,5,8], [10]

其中第三种分割得到的最大子数组的和 是所有分割中最小的

思路一：动态规划

首先，我们可以通过递归的方式来遍历所有的分割方式，从而找到所有分割方式中最符合要求的那一种结果。代码如下：

public int splitArray(int[] nums, int m) {
        //计算[0...i]中所有元素的和
        int[] sums = new int[nums.length+1];
        for(int i = 1 ; i<=nums.length ; i++) {
            sums[i] = nums[i-1] + sums[i-1];
        }
        return splitArray(nums, m, 0, sums);
    }
    
    //计算从cur位置开始，将其分割为m个子数组的最小分割场景
    public int splitArray(int[] nums, int m, int cur, int[] sums) {
        if(m == 1) {
            return sums[nums.length] - sums[cur];
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int diff = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = cur+1 ; i<=nums.length-m+1 ; i++) {
            //当前元素为止，左边的子数组的元素和
            int left = sums[i]-sums[cur];
            //对右边的剩余元素递归的调用splitArray方法
            int right = splitArray(nums, m-1, i, sums);
            //如果出现二者之间的差递增的情况，则说明距离最优分割越来越远，则停止继续尝试
            if(diff < Math.abs(left - right)) {
                break;
            }
            diff = Math.abs(left - right);
            min = Math.min(min, Math.max(left, right));
        }
        return min;
    }

这种方法在大数据量的场景下会出现超时的问题，本质在于我们没有足够的复用中间的所有场景，如对于[i-j]这个子数组的k次分割的最优结果。如果我们记录从i到数组结尾进行k次分割的最优结果，该结果记录为 dp[i][k] ，则从j到数组结尾进行k+1次分割的最优结果为 min(max(num(j), dp[j+1][k]), max(nums(j)+num(j+1), dp[j+2][k])... )
代码如下：

public int splitArray(int[] nums, int m)
    {
        int L = nums.length;
        //记录0-i的元素和
        int[] S = new int[L+1];
        S[0]=0;
        for(int i=0; i<L; i++)
            S[i+1] = S[i]+nums[i];

        //如果m=1，则最小分割结果对应的是整个数组中所有元素的和
        int[] dp = new int[L];
        for(int i=0; i<L; i++)
            dp[i] = S[L]-S[i];

        for(int s=1; s<m; s++)
        {
            for(int i=0; i<L-s; i++)
            {
                dp[i]=Integer.MAX_VALUE;
                for(int j=i+1; j<=L-s; j++)
                {
                    int t = Math.max(dp[j], S[j]-S[i]);
                    if(t<=dp[i])
                        dp[i]=t;
                    else
                        break;
                }
            }
        }

        return dp[0];
    }

思路二：二分法

这是一个非常难想到的方法。二分法的难点一直在于如何划分初始边界，以及如何逐渐缩小边界并且确保左右指针可以相遇。在这里，边界被设置为该数组中可以得到的子数组元素和的最小值和最大值。

根据基本常识可知，数组的最大元素决定了该数组分割出的子数组的元素和的下界，而数组的元素和上界一定不会超过数组所有元素的和。

在确定了数组元素和的上界和下界之后， 就需要找出一种方法，来不断压缩区间直到最后一种。

可以使用中间位置作为数组元素和的边界，即假设所有的连续数组的和都不会超过mid值。假如按照这种方式得到的分割结果大于了规定的m个，则说明mid值作为最大元素和上界并不能够做到只分割出m个子数组，因此最大元素和上界一定在mid和有界中间。同理，假如按照这种方式得到的分割结果小于等于规定的m个，则说明mid值作为最大元素和上界能够满足分割出m个子数组，但是可能还存在更优解。通过这种二分法思路得到的最后结果就是所需要的最小分割结果。

public int splitArray2(int[] nums, int m) {
        long sum = 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0 ; i<nums.length ; i++) {
            max = Math.max(max, nums[i]);
            sum += nums[i];
        }
        if(m == 1) {
            return (int)sum;
        }
        long lft = max;
        long rgt = sum;
        while(lft <= rgt) {
            long mid = (lft + rgt) / 2;
            if(valid(nums, m, mid)) {
                rgt = mid - 1;
            }else {
                lft = mid + 1;
            }
        }
        return (int) lft;
        
    }
    
    public boolean valid(int[] nums, int m, long target) {
        int count = 1;
        long sum = 0;
        for(int i = 0 ; i<nums.length ; i++) {
            sum += nums[i];
            if(sum > target) {
                sum = nums[i];
                count++;
                if(count > m) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }