中心极限定理的Matlab演示

栏目: 编程工具 · 发布时间: 6年前

内容简介:中心极限定理的Matlab演示

中心极限定理的Matlab演示

实验要求

用Matlab验证中心极限定理

实验原理

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明,大量相互独立的随机变量,其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和,则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之,恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

中心极限定理有许多不同的表现形式

一)辛钦中心极限定理

设随机变量$x_1,x_2\cdots,x_n$相互独立,服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2,则随机变量$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$,在n无限增大时,服从参数为a和 $\frac{\sigma^2}{n} $ 的正态分布即n→∞时,

$\bar{x} \to N(a,\frac{\sigma^2}{n})$

将该定理应用到抽样调查,就有这样一个结论:如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的,无论总体服从什么分布,从中抽取容量为n的样本时,只要n足够大,其样本平均数的分布就趋于数学期望为a,方差为σ2 / n的正态分布。

二)德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

设$\mu_n$是n次独立试验中事件A发生的次数,事件A在每次试验中发生的概率为P,则当n无限大时,频率设$\frac{\mu_n}{n}$趋于服从参数为p,$\frac{p(1-p)}{n}$的正态分布。即:

$\frac{\mu_n}{n} \to N(p,\frac{p(1-p)}{n})$

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中,不论总体服从什么分布,只要n充分大,那么频率就近似服从正态分布。

三)林德贝尔格定理

设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相对独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件,则当n→∞时,对任意的x,有

$P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$。

四)李亚普洛夫中心极限定理

设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相互独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差:$\alpha_k=E(X_k),b_k^2=D(X_k)(k=1,2,\Lambda,n\Lambda)$ 。 记$B_n^2=\sum_{k=1}^n b_k^2$,如果能选择这一个正数δ>0,使当n→∞时,$\frac{1}{B_n2+ \delta}\sum_{k=1}^nE|x_k-a_k|^{2+\delta}$,则对任意的x有:

$P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$

该定理的含义是:如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的,而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大,则这个量服从或近似服从正态分布。

实验操作

下面通过实验进行验证。定义5个相同长度的数列,依次取均匀分布、高斯分布、指数分布和卡方分布,并叠加,画出直方图。可以看出随着叠加变量数的增多,分布曲线越来越趋近于钟形曲线。

中心极限定理的Matlab演示

从严格的意义上来说,对称的钟形曲线并不能代表其是正态分布。

所以我们还要对产生的结果进行正态性分布检验。

这里,我们只取每列具有代表性的最后一张图表示的分布进行lillietest检验。

实验发现,在5个分布叠加的时候,只有高斯分布的叠加曲线H = 0,表示零假设(“数据是正态分布”)不能以5%的显着性水平被拒绝。其余三个零假设均可在5%水平被拒绝。

h_a = 1 ; h_b = 0 ;h_c = 1 ;h_d = 1 ;

再次多次重复,结果如下,当变量数足够大时,均可实现符合高斯分布。 证明了大量随机变量之和近似服从正态分布

ai ci di
5 187 164
3 194 72
3 412 57
3 360 286
2 523 255
4 495 144
4 176 67

查看实验源代码

中心极限定理的Matlab演示


以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持 码农网

查看所有标签

猜你喜欢:

本站部分资源来源于网络,本站转载出于传递更多信息之目的,版权归原作者或者来源机构所有,如转载稿涉及版权问题,请联系我们

C#本质论

C#本质论

米凯利斯 / 周靖 / 人民邮电出版社 / 2010-9 / 99.00元

《C#本质论(第3版)》是一部好评如潮的语言参考书,作者用一种非常合理的方式来组织《C#本质论(第3版)》的内容,由浅人深地介绍了C#语言的各个方面。全书共包括21章及6个附录,每章开头的“思维导图”指明了本章要讨论的主题,以及各个主题之间的层次关系。书中所包含的丰富的示例代码和精要的语言比较,都有助于读者理解C#语言。《C#本质论(第3版)》首先介绍了C#语言的基础知识,随后深人讲解了泛型、迭代......一起来看看 《C#本质论》 这本书的介绍吧!

RGB转16进制工具
RGB转16进制工具

RGB HEX 互转工具

HEX HSV 转换工具
HEX HSV 转换工具

HEX HSV 互换工具